GEOMETRI TRANSFORMASI

GEOMETRI

TRANSFORMASI

  1. Pendahuluan

Sejak zaman Euclid (300 SM) sampai abad 17 M, geometri dipelajari dari perspektif sintesis, sebagai suatu ilmu. Selama abad 17 sejumlah ide baru dalam matematika dikembangkan dan diterapkan dalam mempelajari geometri, dengan efek yang bersifat revolusi. Misalnya dengan menerapkan notasi-notasi dan konsep aljabar ke feometri. Fermat (1601 – 16650 dan Rene Descartes (1596 – 1650) menciptakan geometri analitik. Diferensial geometri dikembangkan sebagai suatu konsep dan menggunakan notasi dari kalkulus yang dikembangkan oleh Newton dan Leibniz diaplikasikan pada geometri. Pada abad 18 dan 19, sejumlah geometri non Euclid dikembangkan mengakibatkan beberapa orang menjadi ragu apakah geometri akan terpisah sesuai dengan teori-teori yang bersaing satu dengan yang lain. Di tahun 1782, seorang ahli matematika berusia 23 tahun, Felix Klein (1849 – 1925) mengusulkan suatu prinsip pemersatu untuk mengklasifikasikan berbagai geometri dan menjelaskan hubungan-hubungan diantara mereka. Inti dari gagasan atau konsep Klein itu adalah Geometri Transformasi.

Geometri transformasi adalah pemetaan satu-satu, dengan menggunakan hinpunan titik-titik sebagai input dan returning points sebagai output. Untuk sederhananya, himpunan-himpunan input dinamakan obyek dan outputnya yang bersesuaian dinamakan image. Tergantung dari konteks, transformasi-transformasi dapat dipandang sebagai penerapan pada obyek-obyek geometri yang umum dikenal, misalnya garis, poligon, atau polihedra ataupun pada ruang dimana objek-objek itu ada. Yang lebih berarti lagi adalah bagaimana Felix Klein memberi definisi tentang suatu geometri: “Suatu geometri adalah suatu studi tentang sifat-sifat dari suatu himpunan S yang tetap tidak berubah bilamana element-elemen S ditransformasikan oleh sekelompok transformasi. Definisi ini menetapkan geometri transformasi sebagai suatu cara memahami hubungan-hubungan diantara semua geometri, Euclid dan non Euclid.

  1. Vector Transformations

Pada bentuk vector penjumlahan dan perkalian scalar dengan u = (u1, u2) dan v = (v1, v2) yang didefinisikan jumlah dari u dan v adalah

u + v = (u1 + v1, u2 + v2)

dan perkalian scalar au pada u dengan a adalah bilangan Real au = (au1, au2)/

Variabel f akan disebut sebagai transformasi linier jika semua vektor u dan v yang ada pada B dan semua skalar a, seperti :

  • f(u + v) = f(u) + f(v)
  • f(au) = af(u)

Transformasi linier akan tampak terlihat jelas jika B = C dan akan dinyatakan dalam bentuk A : B ®B yang disebut dengan operator linier pada B. Satu alasan mengapa transformasi tersebut dikatakan linier karena transformasinya mempertahankan/ mengawetkan (preserve) kelurusan garis (straightness lines).

 


Dari gambar terlihat bahwa a dan b adalah vektor dengan a adalah titik pada garis dan b titik yang searah dengan garis. Berdasarkan kondisi linier didapatkan f(a + tb) = f(a) + t f(b)

  1. Matrix Representation

Dari semua transformasi dalam geometri, isometri adalah paling mendasar. Isometri artinya berukuran sama. Jika suatu isometri diterapkan ke suatu obyek, maka obyek tersebut berserta bayangannya mempunyai ukuran linear dan ukuran sudut yang sama. Transformasi dikatakan mengawetkan sifat-sifat ini, dan sifat-sifat itu dikatakan invarian di bawah transformasi itu. Mengawetkan ukuran linear dan ukuran sudut menjamin bahwa keliling dan jumlah sudut dan luas juga diawetkan. Akibatnya, objek dan bayangannya dalam isometri ini adalah identik atau kongruen. Isometri dalam geometri Euclid terdiri dari 3 kategori dan komposisinya: translasi, rotasi, dan refleksi. Dari semua isometri, translasi adalah yang paling mudah untuk dipahami. Dengan adanya operasi translasi setiap titik yang terdapat pada objek akan berpindah pada jarak yang sama dan dalam arah yang sama sesuai dengan vektor. Di bawah operasi rotasi, setiap titik dipindahkan melalui suatu sudut putar relatif terhadap pusat perputaran. Refleksi memetakan setiap titik ke seberang garis refleksi sejauh suatu jarak yang sama terhadap jarak titik itu ke garis refleksi. Misalkan fungsi f pada R2 dengan titik (x,y) di R2 didefinisikan sebagai f : R2
® R2, maka (x,y) ® (ax + by, cx + dy) dengan f((1,0)) = (a,c) dan f((0,1)) = (b,d), sehingga

f(x,y) = x(1,0) + y(0,1)

f(x,y) = f(x(1,0) + y(0,1))

f(x,y) = x f(1,0) + y f(0,1)

f(x,y) = x(a,c) + y(b,d)

f(x,y) = (ax + by, cx + dy)


Transformasi linier (x,y) ® (ax + by, cx + dy), jika diperlihatkan dengan matrik dimana a, b, c, d Î R, maka

Dengan det(M) = ad – bc dan

Jika ada 2 transformasi linier, yaitu (x,y) ® (a2x + b2y, c2x + d2y) dan (x,y) ® (a1x + b1y, c1x + d1y), maka perkalian matriksnya

  1. Linear Transformations
    1. Translasi

Pergeseran koordinat suatu titik dengan faktor t terhadap koordinat titik semula. Untuk pergeseran positif, nilai t > 0, untuk pergeseran negatif, nilai t < 0. Pergesaran bisa dilakukan terhadap sumbu x saja atau y saja. Oleh karena itu ada dua nilai t: t untuk sumbu x (tx) dan t untuk sumbu y (ty). Persamaan translasi:

x’ = tx + x

y’ = ty + y

Matriks translasi

  1. Rotasi

Rotasi terdiri dari 2 macam: rotasi melawan arah jarum jam (counter-clockwise) dan rotasi searah jarum jam (clockwise). Persamaan rotasi :

  1. Rotasi melawan arah jarum jam

    x ‘ = xcos q – ysin q

    y ‘ = xsinq + ycos q

    Matriks rotasi :

     

  2. Rotasi searah jarum jam

    x ‘ = xcos q + ysin q

    y ‘ = – xsinq + ycos q

    Matriks rotasi :

    1. Refleksi

    Secara geometri, oleh refleksi, sebuah obyek dan bayangannya akan kongruen. Akan tetapi ada suatu orientasi yang terbalik. Persamaan refleksi pada sumbu x:

    x’ = x

    y’ = -y

    Matriks refleksi :

     

    1. Affine Transformations

    Transformasi affin adalah hubungan geometri yang mempertahankan bentuk dasar dan integritas bangun geometri. Transformasi affin dapat berupa rotasi, translasi, dan dilatasi. Transformasi affine bersifat linier (perubahan yang kecil pada transformasi akan mengakibatkan perubahan yang kecil pada objek yang ditransformasikan), tetapi akan membentuk fraktal nonlinier jika beberapa transformasi digabungkan dan diiterasi.

    Misalkan T subset R2, transformasi f: T T dikatakan affine pada T, jika


    Dimana ad – bc ≠ 0

    Dengan titik P (x,y) dan vektor. Dengan notasi matriks, transformasi affine dituliskan sebagai T(P) = MP + V, dimana :


    dan det ( M ) ≠ 0

    Transformasi affine tidak mempertahankan/mengawetkan kesebangunan. Hal ini dikarenakan faktor pengali pada p tidak sama dengan pengali pada q. Perhatikan peta dari beberapa bangun oleh transformasi affine berikut.


    5. The Group of Isometries of The Plane

    Isometri didefinisikan f: R2 → R2 yang mempertahankan jarak dengan, untuk titik-titik P1, P2 ϵ R2 dimana jarak antara titik P1 = (x1, y1) dan P2 = (x2, y2).

    Dengan menggunakan definisi ini, ketika f dan g adalah isometri, gabungan atau hasil dari fg. Yakni,


    Yang belum diketahui adalah setiap f isometri memiliki invers f -1 yang juga merupakan isometri. Untuk membuktikannya, kita menggunakan hasil dari Bagian 3.7 bahwa setiap isometri dari R2 adalah produk dari satu, dua, atau tiga refleksi.

    Pertama misalkan f =
    r1r2r3, di mana r1, r2, r3 dan merupakan refleksi. kemudian, karena refleksi dioperasikan dengan dirinya merupakan fungsi identitas, didapat

    f=r1r2r3 r3r2r1

    = r1r2r2r1 karena r3r3 adalah fungsi identitias
    = r1r1 karena r2r2 adalah fungsi identitas
    = fungsi identitas,

    Oleh karena itu, r3r2r1 = f -1. Perhitungan ini juga menunjukkan bahwa f -1 adalah isometri, karena merupakan produk dari refleksi. Cara membuktikannya serupa (tetapi pendek) ketika f adalah produk dari satu atau dua refleksi.

    Bukti diatas menunjukkan karakteristik isometri dari grup transformasi. Sebuah transformasi pada himpunan S adalah fungsi dari S ke S, dan himpunan transformasi G membentuk grup jika memiliki dua sifat:

    • Jika f dan g anggota G, maka begitu juga fg.

    • Jika f anggota G, kemudian ada inversnya, f -1

    Selain itu, G memiliki fungsi identitas f f -1, yang dapat ditulis sebagai 1.

    6. Spherical Geometry

    Spherical Geometry adalah suatu geometri dua dimensi dari permukaan bola (sphere). Sphere adalah himpunan semua titik dalam ruang tiga dimensi yang merupakan jarak tetap dari suatu titik tertentu (disebut pusat). Beberapa contoh yang jelas dari bola termasuk bola basket, bola, bola tenis, dan (hampir) bumi. Jarak dari pusat ke setiap titik pada bola disebut jari-jari. Jarak melintasi bola melalui pusat disebut diameter.






    Great Circle Distance adalah lingkaran yang dibentuk oleh perpotongan bola dan pesawat melewati pusat. Sebuah lingkaran besar adalah lingkaran terbesar yang dapat ditarik pada suatu lingkungan tertentu, dan jalur terpendek sepanjang bola antara dua titik adalah lingkaran besar.

    Menurut definisi, suatu isometri f dari R3 adalah mempertahankan jarak. Oleh karena itu, jika f pada O tetap, ia akan mengirimkan setiap titik pada jarak 1 dari O ke titik lain di jarak 1 dari O. Pembatasan f untuk S2 karena itu merupakan isometri dari S2, karena f mempertahankan jarak di S2 seperti halnya di tempat lain. Pernyataan ini benar karena seorang menggunakan jarak garis lurus antara titik S2 atau Great Circle Distance sepanjang permukaan melengkung S2 (Gambar 1).

    Isometries pada S2 adalah refleksi dalam The Great-Circle. Dua bidang P1 dan P2 bertemu di L line melalui O, dan produk dari refleksi di P1 dan P2 adalah rotasi L (melalui dua kali sudut antara P1 dan P2). Situasi ini sangat sejalan dengan yang di

    R2, dimana produk dari refleksi melalui O adalah rotasi (melalui dua kali sudut antara garis).

    Akhirnya, ada produk dari refleksi di tiga bidang yang berbeda dari produk suatu refleksi dalam satu atau dua bidang. Salah satu bentuk isometri adalah peta antipodal mengirimkan setiap titik (x, y, z) ke titik antipodalnya (-x,-y,-z). Peta ini adalah produk dari :

    • refleksi pada bidang (y, z), yang mengirimkan (x, y, z) ke (-x, y, z),

    • refleksi pada bidang (z, x), yang mengirimkan (x, y, z) ke (x, –y, z),

    • refleksi pada bidang (x, y), yang mengirimkan (x, y, z) ke (x, y, -z).

    Seperti dalam R2, ada “tiga refleksi teorema” bahwa setiap isometri dari S2 adalah produk dari satu, dua, atau tiga refleksi. Tiga teorema refleksi ini menunjukkan bahwa semua isometries dari S2 adalah pembatasan isometries dari R3, karena ini adalah benar refleksi di lingkaran besar.

    7. The Rotation Group of The Sphere



    Untuk menunjukkan bahwa hasil sejumlah refleksi adalah rotasi sama halnya untuk menunjukkan bahwa produk dari dua rotasi S2 adalah rotasi.

    Misalkan dua rotasi S2

    • rotasi melalui sudut θ tentang titik P (yaitu, rotasi dengan sumbu melalui P dan antipodalnya titik-P),

    • rotasi melalui sudut φ tentang titik Q.

    Ditetapkan bahwa rotasi melalui θ tentang P adalah produk dari refleksi di “line” (great circle) melalui P. Selain itu, mereka dapat berupa “lineL dan M melalui P asalkan sudut antara L dan M adalah φ / 2. Secara khusus, kita dapat mengambil garis M menuju melalui P dan Q.

    Demikian pula, rotasi melalui φ tentang Q adalah produk dari refleksi dalam setiap garis melalui pertemuan Q di sudut φ / 2, sehingga kita bisa mengambil “line” pertama akan M. Refleksi kedua “line” melalui Q lalu “lineN pada angle φ / 2 (Gambar 3).

    8. Representing Space Rotations by Quaternions

    Cara yang paling praktis untuk menggambarkan rotasi dari R3 atau S2 yaitu dengan bantuan dari quaternion, yang diperkenalkan di bagian 6.6.
    Sebuah quaternion adalah matriks 2 × 2 memiliki bentuk

                    


    dimana a, b​​, c, d
    R dan i2 = -1.

    Atau dapat ditulis q = a1+bi+ cj+ dk, dimana


    i, j, k dioperasikan dengan perkalian matriks, misalnya ij =k= ji dan i2 = -1.
    Karena q sesuai dengan quadruple (a, b, c, d) dari bilangan real, kita
    dapat melihat q merupakan titik di R4.

    Jika p adalah titik sembarang di R4, kemudian pemetaan p pq, dimana p mengalikan semua panjang p di R4 dengan , jarak dari q dari titik asal. Hal ini terjadi karena


    Kemudian dengan mengikuti operasi perkalian dari determinan maka

    1. Pemetaan tersebut berguna untuk mempelajari rotasi R4 namun juga dapat dipakai untuk mempelajari rotasi R3.

    Rotations of (i, j, k) –space

    Jika p adalah quaternion di ruang (i, j, k)

    p = xi + yj + zk, dimana x, y, z ϵ R,

    dan jika q adalah quaternion nol, qpq1 juga terletak dalam ruang (i, j, k). Dengan demikian, jika = 1, maka pemetaan pqpq1 merupakan isometri di R3, karena ruang (i, j, k) hanya tiga bilangan real dari ruang (x, y, z).

    Selain itu, setiap quaternion dengan = 1 dapat ditulis dalam bentuk


    dan isometri p qpq1 adalah sebuah rotasi di ruang (i, j, k) dengan sudut θ, sumbu melalui 0 dan li + ​​mj + nk.

    Fakta-fakta ini dapat dilihat dengan perhitungan, tetapi buku ini memverifikasinya hanya untuk kasus khusus di mana sumbu rotasi berada dalam arah i, dan titik p yang khusus untuk

    mempermudah menentukan sifat isometri tersebut. Sama halnya dengan memeriksa qkq1
    = k sinθ + j cosθ. Oleh karena itu, isometri pqpq1 adalah rotasi dari bidang (j, k) dengan sudut θ.

    Dengan demikian, isometri pqpq1 pada ruang (i, j, k) melalui sumbu tetapi
    dan berputar di didang (j, k) melalui sudut θ merupakan rotasi melalui sudut θ sepanjang sumbu i.

    Daftar Pustaka

    Stillwell, John. 2004. The Four Pillars of Geometry. San Fransisco: Springer.


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: